Как найти площадь боковой пирамиды. Площадь пирамиды

Полная площадь боковой поверхности пирамиды состоит из суммы площадей его боковых граней.

В четырехугольной пирамиде различается два вида граней – четырехугольник в основании и треугольники с общей вершиной, которой образуют боковую поверхность.
Для начала потребуется рассчитать площадь боковых граней. Для этого можно использовать формулы площади треугольника, а можно также воспользоваться формулой площади поверхности четырехугольной пирамиды (только в случае, если многогранник правильный). Если пирамида правильная и в ней известна длина ребра a основания и проведенной к нему апофемы h , то:

Если по условиям даны длина ребра c правильной пирамиды и длина стороны основания a , то можно найти значение по следующей формуле:

Если же дана длина ребра в основании и противолежащий ей острый угол у вершины, то можно рассчитать площадь боковой поверхности по соотношению квадрата стороны a к удвоенному косинусу половины угла α :

Рассмотрим пример расчета площади поверхности четырехугольной пирамиды через боковое ребро и сторону основания.

Задача: пусть дана правильная четырехугольная пирамида. Длина ребра b = 7 см, длина стороны основания a = 4 см. Подставим заданные значения в формулу:

Мы показали расчеты площади одной боковой грани для правильной пирамиды. Соответственно. Чтобы найти площадь всей поверхности необходимо умножить результат на количество граней, то есть на 4. Если пирамида произвольная и ее грани не равны между собой, то рассчитать площадь необходимо для каждой отдельной стороны. Если в основании лежит прямоугольник или параллелограмм, то стоит вспомнить их свойства. Стороны у этих фигур попарно параллельны, а соответственно грани пирамиды будут также попарно одинаковы.
Формула площади основания четырехугольной пирамиды напрямую зависит от того, какой четырехугольник лежит в основании. Если пирамида правильная, то площадь основания рассчитывается по формуле , если в основании лежит ромб, то потребуется вспомнить, как находится . Ели же в основании лежит прямоугольник, то найти его площадь будет довольно просто. Достаточно знать длины сторон основания. Рассмотрим пример расчета площади основания четырехугольной пирамиды.

Задача: Пусть дана пирамида, в основании которой лежит прямоугольник со сторонами a = 3 см, b = 5 см. К каждой из сторон из вершины пирамиды опущена апофема. h-a =4 см,h-b =6 см. Вершина пирамиды лежит на одной линии с точкой пересечения диагоналей. Найдите полную площадь пирамиды.
Формула площади четырехугольной пирамиды состоит из суммы площадей всех граней и площади основания. Для начала найдем площадь основания:


Теперь рассмотрим грани пирамиды. Они попарно одинаковы, потому что высота пирамиды пересекает точку пересечения диагоналей. То есть, в нашей пирамиде есть два треугольника с основанием a и высотой h-a , а также два треугольника с основанием b и высотой h-b . Теперь найдем площадь треугольника по известной формуле:


Теперь выполним пример расчета площади четырехугольной пирамиды. В нашей пирамиде с прямоугольником в основании, формула будет выглядеть так:

– это фигура, в основании которой лежит произвольный многоугольник, а боковые грани представлены треугольниками. Их вершины лежат в одной точке и соответствуют вершине пирамиды.

Пирамида может быть разнообразной – треугольной, четырехугольной, шестиугольной и т.д. Ее название можно определить в зависимости от количества углов, прилегающих к основанию.
Правильной пирамидой называется пирамида, в которой равны стороны основания, углы, и ребра. Также в такой пирамиде будет равна площадь боковых граней.
Формула площади боковой поверхности пирамиды представляет собой сумму площадей всех ее граней:
То есть, чтобы рассчитать площадь боковой поверхности произвольной пирамиды, необходимо найти площадь каждого отдельного треугольника и сложить их между собой. Если пирамида усеченная, то ее грани представлены трапециями. Для правильной пирамиды существует другая формула. В ней площадь боковой поверхности рассчитывается через полупериметр основания и длину апофемы:

Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности пирамиды.
Пусть дана правильная четырехугольная пирамида. Сторона основания b = 6 см, а апофема a = 8 см. Найдите площадь боковой поверхности.

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Для начала найдем его периметр:

Теперь можем просчитать площадь боковой поверхности нашей пирамиды:

Для того чтобы найти полную площадь многогранника, потребуется найти площадь его основания. Формула площади основания пирамиды может отличаться, в зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании. Для этого используются формулы площади треугольника, площади параллелограмма и т.д.

Рассмотри пример расчета площади основания пирамиды, заданной нашими условиями. Так как пирамида правильная, в ее основании лежит квадрат.
Площадь квадрата рассчитывается по формуле: ,
где a – сторона квадрата. У нас она равна 6 см. Значит площадь основания пирамиды:

Теперь остается только найти полную площадь многогранника. Формула площади пирамиды состоит из суммы площади ее основания и боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности произвольной пирамиды равна сумме площадей её боковых граней. Специальную формулу для выражения этой площади имеет смысл дать в случае правильной пирамиды. Так, пусть дана правильная пирамида, в основании которой лежит правильный n-угольник со стороной, равной а. Пусть h - высота боковой грани, называется также апофемой пирамиды. Площадь одной боковой грани равна 1/2ah, а вся боковая поверхность пирамиды имеет площадь, равную n/2ha.Так как na - периметр основания пирамиды, то можно написать найденную формулу в виде:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению её апофемы на половину периметра основания.

Что касается площади полной поверхности , то просто к боковой прибавляем площадь основания.

Вписанные и описанные сфера и шар . Нужно отметить, что центр вписанной в пирамиду сферы лежит на пересечении биссекторных плоскостей внутренних двугранных углов пирамиды. Центр описанной около пирамиды сферы лежит на пересечении плоскостей, проходящих через середины ребер пирамиды и перпендикулярных им.

Усеченная пирамида. Если пирамиду рассеч плоскостью, параллельной её основанию, то часть, заключенная между секущей плоскостью и основанием, называется усеченной пирамидой. На рисунке показана пирамида, отбрасывая её часть, лежащую выше секущей плоскости, получаем усеченную пирамиду. Ясно, что малая отбрасываемая пирамида гомотетична большой пирамиде с центром гомотетии в вершине. Коэффициент подобия равен отношению высот: k=h 2 /h 1 , или боковых ребер, или других соответствующих линейных размеров обеих пирамид. Мы знаем, что площади подобных фигур относятся, как квадраты линейных размеров; так площади оснований обеих пирамид (т.е. пощади оснований усеченной пирамиды) относятся, как

Здесь S 1 - площадь нижнего основания, а S 2 - площадь верхнего основания усеченной пирамиды. В таком же отношении находятся и боковые поверхности пирамид. Сходное правило имеется и для объемов.

Объемы подобных тел относятся, как кубы их линейных размеров; например, объемы пирамид относятся, как произведения их высот на площади оснований, откуда наше правило получается сразу. Оно имеет совершенно общий характер и прямо следует из того, что объем всегда имеет размерность третей степени длины. Пользуясь этим правилом, выведем формулу, выражающую объем усеченной пирамиды через высоту и площади оснований.

Пусть дана усеченная пирамида с высотой h и площадями оснований S 1 и S 2 . Если представить себе, что она продолжена до полной пирамиды, то коэффициент подобия полнорй пирамиды и малой пирамиды легко найти, как корень из отношения S 2 /S 1 . Высота усеченной пирамиды выражается как h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Теперь имеем для объема усеченной пирамиды (через V 1 и V 2 обозначены объемы полной и малой пирамид)

формула объема усеченной пирамиды

Выведем формулу площади S боковой поверхности правильной усеченной пирамиды через периметры Р 1 и Р 2 оснований и длину апофемы а. Рассуждаем точно так же, как и при выводе формулы для объема. Дополняем пирамиду верхней частью, имеем P 2 = kP 1 , S 2 =k 2 S 1 , где k - коэффициент подобия, P 1 и P 2 - периметры оснований, а S 1 и S 2 - лощади боковых поверхностей всей полученной пирамиды и её верхней части соответственно. Для боковой поверхности найдем (а 1 и а 2 - апофемы пирамид, а = а 1 - а 2 = а 1 (1-k))

формула площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

В этом уроке:

• Задача 1. Найти площадь полной поверхности пирамиды
• Задача 2. Найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды

См. также материалы по теме:
.

Примечание . Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√" .

Задача 1 . Найти площадь полной поверхности правильной пирамиды

Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 3 см. а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45 градусов.
Найти площадь полной поверхности пирамиды

Решение .

В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник.
Поэтому для решения задачи воспользуемся свойствами правильного треугольника:

Нам известна высота треугольника, откуда можно найти его площадь.
h = √3/2 a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Откуда площадь основания будет равна:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Для того, чтобы найти площадь боковой грани, вычислим высоту KM. Угол OKM по условию задачи равен 45 градусам.
Таким образом:
OK / MK = cos 45
Воспользуемся таблицей значений тригонометрических функций и подставим известные значения.

OK / MK = √2/2

Учтем, что OК равен радиусу вписанной окружности. Тогда
OK = √3/6 a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Тогда
OK / MK = √2/2
1 / MK = √2/2
MK = 2/√2

Площадь боковой грани тогда равна половине произведения высоты на основание треугольника.
Sбок = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды будет равна
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Ответ : 3√3 + 18/√6

Задача 2 . Найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды

В правильной треугольной пирамиде высота равна 10 см, а сторона основания 16 см. Найти площадь боковой поверхности .

Решение .

Поскольку основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник, то AO является радиусом описанной вокруг основания окружности.
(Это следует из )

Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника найдем из его свойств

Откуда длина ребер правильной треугольной пирамиды будет равна:
AM 2 = MO 2 + AO 2
высота пирамиды известна по условию (10 см), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

Каждая из сторон пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник. Площадь равнобедренного треугольника найдем из первой формулы, представленной ниже

S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 sqrt((556/3) - 64)
S = 8 sqrt(364/3)
S = 16 sqrt(91/3)

Поскольку все три грани у правильной пирамиды равны, то площадь боковой поверхности будет равна
3S = 48 √(91/3)

Ответ: 48 √(91/3)

Задача 3. Найти площадь полной поверхности правильной пирамиды

Сторона правильной треугольной пирамиды равна 3 см а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45 градусов. Найдите площадь полной поверхности пирамиды .

Решение .
Поскольку пирамида правильная, в ее основании лежит равносторонний треугольник. Поэтому площадь основания равна


So = 9 * √3/4

Для того, чтобы найти площадь боковой грани, вычислим высоту KM. Угол OKM по условию задачи равен 45 градусам.
Таким образом:
OK / MK = cos 45
Воспользуемся

При подготовке к ЕГЭ по математике учащимся приходится систематизировать знания по алгебре и геометрии. Хочется объединить все известные сведения, например, о том, как вычислить площадь пирамиды. Причем начиная от основания и боковых граней до площади всей поверхности. Если с боковыми гранями ситуация ясна, так как они являются треугольниками, то основание всегда разное.

Как быть при нахождении площади основания пирамиды?

Оно может быть совершенно любой фигурой: от произвольного треугольника до n-угольника. И это основание, кроме различия в количестве углов, может являться правильной фигурой или неправильной. В интересующих школьников заданиях по ЕГЭ встречаются только задания с правильными фигурами в основании. Поэтому речь будет идти только о них.

Правильный треугольник

То есть равносторонний. Тот, у которого все стороны равны и обозначены буквой «а». В этом случае площадь основания пирамиды вычисляется по формуле:

S = (а 2 * √3) / 4.

Квадрат

Формула для вычисления его площади самая простая, здесь «а» - снова сторона:

Произвольный правильный n-угольник

У стороны многоугольника то же обозначение. Для количества углов используется латинская буква n.

S = (n * а 2) / (4 * tg (180º/n)).

Как поступить при вычислении площади боковой и полной поверхности?

Поскольку в основании лежит правильная фигура, то все грани пирамиды оказываются равными. Причем каждая из них является равнобедренным треугольником, поскольку боковые ребра равны. Тогда для того, чтобы вычислить боковую площадь пирамиды, потребуется формула, состоящая из суммы одинаковых одночленов. Число слагаемых определяется количеством сторон основания.

Площадь равнобедренного треугольника вычисляется по формуле, в которой половина произведения основания умножается на высоту. Эта высота в пирамиде называется апофемой. Ее обозначение - «А». Общая формула для площади боковой поверхности выглядит так:

S = ½ Р*А, где Р — периметр основания пирамиды.

Бывают ситуации, когда не известны стороны основания, но даны боковые ребра (в) и плоский угол при ее вершине (α). Тогда полагается использовать такую формулу, чтобы вычислить боковую площадь пирамиды:

S = n/2 * в 2 sin α.

Задача № 1

Условие. Найти общую площадь пирамиды, если в его основании лежит со стороной 4 см, а апофема имеет значение √3 см.

Решение. Его начинать нужно с расчета периметра основания. Поскольку это правильный треугольник, то Р = 3*4 = 12 см. Поскольку апофема известна, то можно сразу вычислить площадь всей боковой поверхности: ½*12*√3 = 6√3 см 2 .

Для треугольника в основании получится такое значение площади: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 см 2 .

Для определения всей площади потребуется сложить два получившихся значения: 6√3 + 4√3 = 10√3 см 2 .

Ответ. 10√3 см 2 .

Задача № 2

Условие . Имеется правильная четырехугольная пирамида. Длина стороны основания равна 7 мм, боковое ребро — 16 мм. Необходимо узнать площадь ее поверхности.

Решение. Поскольку многогранник — четырехугольный и правильный, то в его основании лежит квадрат. Узнав площади основания и боковых граней, удастся сосчитать площадь пирамиды. Формула для квадрата дана выше. А у боковых граней известны все стороны треугольника. Поэтому можно использовать формулу Герона для вычисления их площадей.

Первые расчеты просты и приводят к такому числу: 49 мм 2 . Для второго значения потребуется вычислить полупериметр: (7 + 16*2):2 = 19,5 мм. Теперь можно вычислять площадь равнобедренного треугольника: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 мм 2 . Таких треугольников всего четыре, поэтому при подсчете итогового числа потребуется его умножить на 4.

Получается: 49 + 4*54,644 = 267,576 мм 2 .

Ответ . Искомое значение 267,576 мм 2 .

Задача № 3

Условие . У правильной четырехугольной пирамиды необходимо вычислить площадь. В ней известна сторона квадрата — 6 см и высота — 4 см.

Решение. Проще всего воспользоваться формулой с произведением периметра и апофемы. Первое значение найти просто. Второе немного сложнее.

Придется вспомнить теорему Пифагора и рассмотреть Он образован высотой пирамиды и апофемой, которая является гипотенузой. Второй катет равен половине стороны квадрата, поскольку высота многогранника падает в его середину.

Искомая апофема (гипотенуза прямоугольного треугольника) равна √(3 2 + 4 2) = 5 (см).

Теперь можно вычислять искомую величину: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (см 2).

Ответ. 96 см 2 .

Задача № 4

Условие. Дана правильная Стороны ее основания равны 22 мм, боковые ребра — 61 мм. Чему равна площадь боковой поверхности этого многогранника?

Решение. Рассуждения в ней такие же, как были описаны в задаче №2. Только там была дана пирамида с квадратом в основании, а теперь это шестиугольник.

Первым делом вычисляется площадь основания по указанной выше формуле: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 см 2 .

Теперь необходимо узнать полупериметр равнобедренного треугольника, который является боковой гранью. (22+61*2):2 = 72 см. Осталось по формуле Герона сосчитать площадь каждого такого треугольника, а потом умножить ее на шесть и сложить с той, что получилась для основания.

Расчеты по формуле Герона: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 см 2 . Вычисления, которые дадут площадь боковой поверхности: 660*6 = 3960 см 2 . Осталось их сложить, чтобы узнать всю поверхность: 5217,47≈5217 см 2 .

Ответ. Основания - 726√3 см 2 , боковой поверхности - 3960 см 2 , вся площадь - 5217 см 2 .